複利とは
複利とは、利息そのものが利息を生む仕組みです。各期間の運用益が元本に加えられ、次の期間には元本と一緒に利息を生みます。だからこそ資産のカーブは直線にならず、時間が経つほど傾きが急になります。
最初のうちは差がわずかに見えます。序盤の数か月は、増加のほとんどが自分の積立によるものです。転換点は途中で訪れます。ある月の利息がその月の積立額を上回った瞬間から、自分よりもお金のほうが働くようになります。
同じ仕組みは、増えているのが借金のときには自分に不利に働きます。クレジットカードのリボ払いや当座貸越は複利で計算されるため、少額の残高が数か月で雪だるま式に膨らみます。
複利の公式
途中の積立がない一括投資の場合、公式は次のとおりです。
M = C × (1 + i)^t
- M — 期間終了時の合計金額
- C — 最初に投資した元本
- i — その期間の利率（小数表記。月0.8% = 0.008）
- t — 期間の長さ。利率と同じ単位（月利なら期間は月数）
最も間違いが多いのは単位です。利率と期間は同じ単位でそろえる必要があります。年利を月利に直すのは12で割ることではなく、12乗根を取ることです。利息は1年の中でも複利で回るからです。年12%は月0.9489%に相当し、月1%ではありません。この計算機は正しい変換式、つまり 月利 = (1 + 年利)^(1/12) − 1 を使っています。
M = C × (1 + i)^t + A × [ ((1 + i)^t − 1) ÷ i ]
毎月の積立がある場合、第2項が各回の入金の将来価値を合計します。ここで A は毎月の積立額です。あとから入れた分ほど運用される期間が短くなります。最初の積立はほぼ全期間、最後の積立はほとんど運用されません。だから多く積み立てることよりも、早く始めることのほうが効いてきます。
単利と複利の違い
単利では、運用益は常に最初に投資した元本に対して計算されます。10,000を月1%で運用すると、毎月ずっと100ずつ増えます。10年で利息は12,000、合計は22,000です。
複利では、運用益が次の期間の計算のもとに加わります。同じ10,000を月1%で回すと10年でおよそ33,000になり、利息は単利の約2倍です。最初の1か月はどちらもまったく同じ結果になりますが、2か月目から差がつき始め、その差は加速していきます。
実務では、ほとんどの投資商品とすべてのローンが複利で計算されます。単利が登場するのは、一部の延滞金や非常に短期の分割払いなど限られた場面だけです。
具体例
規模感をつかむための3つのシナリオです。上の計算機で自分の数字に置き換えてみてください。
毎月300を10年間
初期1,000、毎月300、月利0.8%なら、入金額は37,000で最終的におよそ62,667になります。結果のおよそ41%は自分の資金ではなく利息から生まれています。
5年遅く始めた場合のコスト
毎月500を月利0.8%で30年間続けるとおよそ1,038,000になります。5年遅く始めて積立期間が25年になると、結果はおよそ620,000に下がります。5年の遅れは418,000以上の差になり、積み立てられなかった30,000をはるかに上回ります。
複利が敵になるとき
カードのリボ残高2,000を月13%のまま一切返済しないと、12か月でおよそ8,669になります。投資とまったく同じ仕組みが、逆向きに働いているだけです。
シミュレーションでよくある間違い
年利を12で割ってしまう
年12%を12で割ると月1%になりますが、これは運用益を過大に見積もります。正しい変換は複利ベースで、月0.9489%になります。期間が長いほどこの差は結果を数十パーセント単位で変えます。
インフレを忘れる
30年後の100万は、今日の100万と同じものは買えません。インフレ調整をオンにして現在の購買力で結果を読んでください。その数字こそ、投資が本当にインフレに勝ったかどうかを教えてくれます。
税金と手数料を無視する
課税対象の固定利付商品では、保有期間に応じて22.5%から15%の税が利息にかかります。さらに保管手数料や運用手数料がある場合は、それらも総収益から差し引かれてから手元の金額になります。
よくある質問
- 単利と複利の違いは何ですか
- 単利では運用益は常に最初の元本に対して計算されます。複利では各期間の運用益が元本に加わり、それ自体も利息を生みます。最初の期間は結果が同じですが、2期目から複利が先行し、その差はどんどん広がっていきます。
- 毎月積み立てる場合の複利はどう計算しますか
- 公式に第2項が加わります。M = C × (1 + i)^t + A × [ ((1 + i)^t − 1) ÷ i ]（A は毎月の積立額）。実際には月ごとに計算するほうが追いやすいです。残高に利率を掛けて運用益を足し、そのあとにその月の積立を足します。上の計算機はまさにこの手順で計算し、表に表示しています。
- 貯蓄預金にも複利はつきますか
- つきます。入金された利息は残高に加わり、翌月以降も利息を生みます。違うのは利率で、ほかの固定利付商品より低いのが普通です。ブラジルのpoupançaは、政策金利Selicが年8.5%を超えているとき月0.5%＋TRで、個人には所得税がかかりません。
- 年利を月利に換算するには
- 12で割るのではなく12乗根を取ります。月利 = (1 + 年利)^(1/12) − 1。年12%は月0.9489%に相当します。12で割ると月1%となり、1年の中でも利息が複利で回ることを無視するため、運用益を過大に見積もってしまいます。
- 毎月1,000を10年間積み立てるといくらになりますか
- 月利0.8%なら、毎月1,000を120か月続けると入金額は120,000、最終的にはおよそ200,000になります。つまりおよそ80,000が利息です。結果は利率で大きく変わるので、実際に使う商品の利率でシミュレーションしてください。
- 複利でお金が2倍になるまでどれくらいかかりますか
- 72の法則が便利です。72を利率（%）で割ると、2倍になるまでのおおよその期間数が出ます。月1%なら約72か月、年10%なら約7年です。正確な値を知りたい場合は、計算機で最終金額が初期金額の2倍になるまで期間を調整してください。
- この計算機は税金を差し引きますか
- オプションをオンにしたときだけです。オンにすると、ブラジルの固定利付商品の逓減税率表を利息に適用します。180日まで22.5%、360日まで20%、720日まで17.5%、それ以降は15%です。CDB、Tesouro Direto、債券型ファンドが対象です。poupança、LCI、LCAは個人には非課税で、株式は独自のルールに従います。
- 複利は借金にも当てはまりますか
- 当てはまります。そこがつらいところです。カードのリボ払い、当座貸越、ほとんどのローンは複利で計算されます。月あたりでは小さく見える利率も、年に直すと非常に大きくなります。月13%は年330%以上です。投資を始める前に高金利の借金を返すことが、たいていは最も高い利回りになります。